双曲几何

依赖于平行公理的命题在双曲几何中不成立,依赖于平行公理的命题在双曲几何中不成立,通过研究星/，指出有两种类型:几何:窄几何星几何,任何不涉及平行公理的命题几何如果在Euclid几何中是正确的，在双曲几何中也是正确的,这种几何一般称为罗巴切夫斯基几何，也称为双曲-1/。

非欧几何发展简史及其启示几何学问的起源可以追溯到古埃及，几何学问的本义是测量，是古埃及人在土地测量方面的各种经验和成果的总结。根据希腊历史学家希罗多德的说法，埃及的产生几何是因为尼罗河每年上涨后需要重新划定农民土地的界限。古希腊人继承和发展了古埃及学。爱奥尼亚学派的领袖和创始人泰勒斯和他的学生毕达哥拉斯等著名哲学家和数学家将古埃及的实验几何研究转变为推理几何研究，后期毕达哥拉斯学派是公元前400年。

不，非欧洲几何突破了欧洲的局限，成为现代几何学习的焦点。Euclid 几何有一个公理让无数数学家束手无策，那就是第五公设:如果过直线外的一点，只能做该直线的平行线，即不相交的直线。直观上，这个公设是无懈可击的，但从其他四个公设无法证明。从古希腊到19世纪初，许多数学家试图证明欧几里得的平行公理与Euclid 几何中的其他公理，但结果都失败了。19世纪，德国数学家高斯、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波尔约等人独立意识到这个证明是不可能的，而意大利数学家贝尔特拉米证明平行公设独立于前四个公设。

任何不涉及平行公理的命题几何如果在Euclid 几何中是正确的，在双曲 几何中也是正确的。依赖于平行公理的命题在双曲 几何中不成立。下面举几个例子来说明:Euclid 几何:同一直线的垂线和对角线相交。垂直于同一直线的两条直线是平行的。有相似但不相等的多边形。穿越不在一条直线上的三点可以做，只能做一个圆。双曲 几何:同一条直线的垂线和对角线不一定相交。垂直于同一条直线的两条直线，当两端都延长时，分散到无穷远。

非欧几何 11非欧几何的发展历史起源于2000多年前古希腊数学家欧几里得的几何的发展。原来，欧几里德自己提出了公设五，其内容是:如果一条直线与两条直线相交，且相同，则两条直线无限延伸后会在这一边相交的公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理化公设简洁，欧几里德自己也不满意这个公设。他在证明了所有不需要平行公设的定理后使用了它，怀疑它可能不是独立公设，可能被其他公设或公理取代。从古希腊时代到19世纪的2000多年间，数学家们一直对这个公设忧心忡忡，并孜孜不倦地试图解决这个问题。数学家们主要遵循了两条研究路径:一是寻找一个更自明的命题来代替平行公设，二是试图从其他九个公设中推导出平行公设。沿着第一条路线找到的第五公设的最简单的表述是由苏格兰数学家普里菲尔在1795年给出的:在直线的稍远处，只有一条直线与原公设平行，这就是我们今天中学课本上使用的平行公理，但实际上，古希腊数学家普罗克洛斯在5世纪就陈述了这一点。然而，问题是所有这些替代公设并不比最初的第五公设更容易被接受。古希腊天文学家托勒密第一次试图在更自然的历史中证明第五公设。后来，普罗克洛斯指出托勒密的证明无意中假设只有一条直线可以平行于直线之外的已知直线。这是对上述预填充公设12的解决方案。121非欧几何的萌发，说明第五公设的工作在18世纪以第二种方式取得了突破。先是意大利人塞开里提出用归谬法证明第五公设，塞开里从四边形ABCD入手。如果角A和角D是直角，AC=BD，那么很容易证明角C等于角D，所以第五公设等价于角C和角D是直角的断言。塞开里提出了另外两个假说:钝角假说:角C和角D都是钝角和锐角；角C和角D都是锐角。最后，在敏锐的假设下，塞开里推导出一系列结果，使他因违背经验知识而放弃了最终结论，但客观上为非欧几何的成立提供了非常有价值的思路。它开辟了一条不同于前人的新路。后来，瑞士数学家兰伯特做了与塞开里相似的工作。他还考察了一种四边形，其中三个角是直角，第五个角有三种可能:直角钝角和锐角。他还得出三角形的面积取决于它的内角，三角形的面积与内角之和与角之差成正比。提供了几何的可能性。法国著名数学家勒让德也非常关注平行公设。他得到了一个重要的定理:三角形的内角之和不能大于两个直角，这预示着可能存在一种新的几何。19世纪初，德国特使萨瓦卡的想法变得更加清晰。通过研究星/，指出有两种类型:几何:窄几何星几何。在后者中，三角形有一个特点，它的内角之和不等于两个直角，12，2是非欧几何。但他们都没有正式提出几何的新理论并建立其体系，而著名数学家罗巴切夫斯基却做到了，成为非欧几何的创始人。高斯是第一个指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人。早在1792年，他就有了建立逻辑学的想法/。1794年，高斯在他的几何中发现，四边形的面积与四边形的两个直角之和与内角之差成正比，由此得出结论:三角形的面积不超过一个常数，无论顶点相距多远。后来，他进一步发展了他的新的几何。称之为非欧几何他坚信这个几何在逻辑上是不矛盾的，是真的，是适用的，所以他也测量了三个峰形成的三角形的内角。他认为内角和的亏空只有在大三角形中才能显现出来，但由于仪器的误差，他的测量失败了。可惜高斯生前没有任何关于非欧几何的著作。人们是从他死后与朋友的通信中得知他对非欧几何的研究成果和观点的。

非欧几里德几何是数学的一个大分支。一般来说，它有广义和狭义三种不同的含义。所谓广义的表述，是指狭义上不同于欧几里德几何和非欧几何的一切，仅指罗氏几何，至于一般意义上的非欧-1。引言我们一般所说的非欧几何学其实是指两种几何。一个是俄罗斯数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基在1826年发现的。这种几何一般称为罗巴切夫斯基几何，也称为双曲-1/。

黎曼，18261866: 几何视点，黎曼曲面。1851年关于简单复变函数的一般理论基础的博士论文，正如著名数学家阿尔福斯·芬梅在1907-1996年所说的一样重要:这篇论文不仅包含了现代复变理论主要部分的雏形，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，为研究黎曼自己的微分几何铺平了道路。另外，柯西黎曼条件成立，真正使这个方程成为复分析大厦的基石，揭示了复变函数与实变函数的深刻区别，黎曼映射定理。

Euclid 几何Plane几何二维，Roche 几何少数不涉及平行公理的命题在Euclid-1。依赖于平行公理的命题在双曲 几何中不成立。Riemann 几何不同于plane 几何，它应用于曲面，涉及微积分。他首先发展了空间的概念，提出几何研究的对象应该是一种多重广义量，空间中的点可以用N个实数x1来描述，...，xn为坐标。

射影群中有很多重要的子群，每个这样的子群对应着一类几何，称为射影几何的子几何。为了简单明了，下面说的射影群是直群，射影变换指的是直变换，主要分析平面上的情况。在扩展的仿射平面上，使无穷直线0=0为常数的射影变换是仿射变换，它表示在非齐次坐标中。仿射变换的方程可以写成由所有仿射变换组成的仿射群，并且是射影群的子群。仿射变换保持平行。

使点对1，I2，即0=0的仿射变换称为相似变换，但它们的方程可以写成形状，但它们是正交方阵乘以一个常数:所有的相似变换形成相似群，也叫欧氏群或度量群，是仿射群和射影群的子群。用1和2点，可以用射影的方法引入平面上的距离和角度的概念，看到绝对的形状，相似变换把每个图形变成与之相似的图形，即所有长度按比例变化，角度不变。此时展开的平面可以称为展开的欧氏平面，其上的圆都经过1和2。