1. 美国高考数学真题题目翻译
美国高考(Advanced Placement)是美国大学入学考试的一种。它包括多门科目，其中包括数学。以下是一道美国高考数学真题的题目翻译：
求解方程：$x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0$。
2. 分析方程特征
这道题目是一道高中级别的数学难题，需要对方程的特点进行深入分析才能解决。在这道题目中，方程中的每一项度数都是4，这意味着我们需要尝试使用高阶多项式方程的求解方法来解决此问题。
3. 应用二项式定理
在这道问题中，我们可以尝试使用二项式定理来研究方程的形式。具体来说，我们可以使用以下公式：
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}}a^{n-k}b^k$$
将 $a=x$ 和 $b=1$ 带入上述公式得到：
$$(x+1)^4=\sum_{k=0}^4{\choose{k}}x^{4-k}1^k$$
即：
$$(x+1)^4={\choose}x^4+{\choose
}x^3+{\choose
}x^2+{\choose}x^1+{\choose}1$$
这给了我们一个很好的起点，以便开始解决原方程。
4. 解决方程
我们可以通过将二项式定理的展开式代入原方程得到：
$$(x+1)^4-6(x+1)^2+9=0$$
再将 $(x+1)^2$ 等于 $y$ 代入到公式中，我们可以得到：
$$y^2-6y+9=0$$
解决这个二次方程可以得到 $y=3$，因此 $(x+1)^2=3$。将这个结果带回到 $(x+1)^4-6(x+1)^2+9=0$ 中，我们得到了两个解 $x=-1+\sqrt$ 和 $x=-1-\sqrt$。
总结
在解决这道美国高考数学真题的过程中，我们学习了如何使用二项式定理来研究方程的形式，并通过将展开式代入原方程解决了这个高阶多项式方程。这种方法可以通过将方程的根表示为 $(a+b)^n$ 的形式来推广到其他高阶多项式方程的求解中。
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