alevel数学真题,2015年真题：计算函数通项公式新标题：推导函数的通项公式

1. 介绍

在高中数学和A-level数学中，我们经常需要计算各种函数的通项公式。通项公式是指一个函数的第n项与n的关系式。推导函数的通项公式不仅可以提高我们的数学运算能力，还可以帮助我们更好地理解函数的本质。

推导函数的通项公式可以采用数学归纳法或其他数学方法。以一道A-level数学的例题为例，介绍具体的推导方法。

设f(n)是一个关于n的函数，已知f(1)=1，且f(n+1)=f(n)+2n-1(n≥1)。求f(n)的通项公式。

解

根据已知条件，可以列出f(2)=f(1)+2-1=2，f(3)=f(2)+4-1=5，f(4)=f(3)+6-1=10，以此类推，可以得到f(n)的前几项如下：

f(1)=1，

f(2)=2，

f(3)=5，

f(4)=10，

……

可以猜测f(n)的通项公式为f(n)=(n^2+n)/2。现在我们要用数学归纳法来证明这个猜测是正确的。

（1）基本情况。当n=1时，f(1)=(1^2+1)/2=1，猜测成立。

（2）归纳假设。假设当n=k时，f(k)=(k^2+k)/2成立。

（3）归纳结论。当n=k+1时，由已知条件f(k+1)=f(k)+2k+1，根据归纳假设，有：

f(k+1)=f(k)+2k+1=k^2+k+2k+1=(k+1)^2+(k+1)/2

因此，当n=k+1时，f(k+1)=((k+1)^2+(k+1))/2成立。

综上所述，根据数学归纳法，得证f(n)=(n^2+n)/2是f(n+1)=f(n)+2n-1的通项公式。

通过以上例子，我们可以发现推导函数通项公式需要灵活运用数学方法，以及对数学性质的深刻理解。在接触更加复杂的函数时，我们可以考虑使用其他方法进行推导，如递推法、欧拉积法、整除法等等。