中国剩余定理，中国剩余定理

本文目录一览

1，中国剩余定理
2，什么是中国余数定理
3，中国剩余定理是什么
4，中国剩余定理是什么的别称
5，什么叫中国剩余定理
6，中国剩余定理
7，中国剩余定理的典故

1，中国剩余定理

中国剩余定理

2，什么是中国余数定理

在数论中有一个著名的定理:孙子定理,也称中国剩余定理,他是关于解同余式组的正整数解的一个定理.不知是否是你需要的,把定理在这里抄录,显然是不恰当的.你只要学了初等数论就清楚了. 需说明的是,孙子定理,决非是一个为解单个题而形成的顺口溜. 金师傅所言余数定理,在我的资料上也是称剩余定理.亦称裴蜀定理: 多项式f(x) 除以(x-a) 所得的余数等于f(a) 。 (裴蜀,Etienne Bezout,1730-1783,法国数学家)

什么是中国余数定理

3，中国剩余定理是什么

我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题：“今有物不知其数：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何．”这个问题一般称孙子问题．这个问题可译成：求被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数．《孙子算经》中记载了这个问题的解法，有人将其解法编成歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．”它的意思是用3除的剩余数乘70，用5除的剩余数乘21，用7除的剩余数乘15，将所得的结果相加再减去105的倍数，即可得所求数．算式是2×70＋3×21＋2×15=233，233－105×2＝23，所以，最小的正整数解是23．这种解法，实际上是特殊的一次同余式组的求解定理．1801年，德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定理．西方数学著作中将一次同余式的求解定理称为中国剩余定理．

中国剩余定理是什么

4，中国剩余定理是什么的别称

中国余数定理中国剩余定理,又称中国余数定理,是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理,说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“求一术”（宋沈括）、“鬼谷算”（宋周密）、“隔墙算”（宋周密）、“剪管术”（宋杨辉）、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名。中国剩余定理的别称是中国余数定理，一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案（除以105得到的余数则为最小答案）。

5，什么叫中国剩余定理

中国剩余定理释义：又称“孙子定理”。1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”。孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。扩展资料：中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。方程组的通解形式为一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。参考资料：搜狗百科---孙子定理

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6，中国剩余定理

《孙子算经》记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”可理解为：“一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。问这个数是多少？”此类题型传到西方后，被称为孙子问题（或多除数问题）。求解此类问题的一种方法为中国剩余定理。讲的是：“三人同行七十稀” （把除以3所得的余数用70乘）“五树梅花廿一枝”（把除以5所得的余数用21乘）“七子团圆正月半” （把除以7所得的余数用15乘）“除百零五便得知” （把上述三个积加起来，减去105的倍数，所得的差即为所求）也就是：能同时被5和7整除，且被3除余数为1的最小整数为70，用70乘以2（2为所求数值除以3的余数，即三三数之剩二），得到140；能同时被3和7整除，且被5除余数为1的最小整数为21，用21乘以3（3为所求数值除以5的余数，即五五数之剩三），得到63；能同时被3和5整除，且被7除余数为1的最小整数为15，用15乘以2（2为所求数字除以7的余数，即七七数之剩二），得到30。将以上三个数（140，63，30）相加，再减去3、5、7最小公倍数（105）的倍数，使最后的结果小于三者的最小公倍数（105），则结果为（140+63+30）-105×2=23，此数即为满足条件的最小整数。因此满足条件的所有的数可以表示为105n+23（n=0，1，2，…）。

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数.”这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”. 　　实际上，上面的问题我们可以这样来想：　　分别写出除数3、5、7的两两公倍数.如下表：我们在第一组数中选出合乎“除以7余2”的较小数——30；在第二组数中选出合乎“除以5余3”的较小数——63；在第三组数中选出合乎“除以3余2”的较小数——35. 根据和的整除性，可知30+63+35=128一定是一个同时合乎“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数（为什么？），但是不一定是最小的.要得到合乎条件的最小数，只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使得差数小于这个最小公倍数就是了. 3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105，因此，由于前面的经验二，可知　　128÷105=1……余23. 这个余数23就是要求的合乎条件的最小数. 有意义的是，虽然孙老先生的解法也是从对上表的思索得到的，但他的解法更具有一般性.亲爱的读者，你能猜想到孙子的一般解法吗？【规律】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数.孙子的解法是：先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70.即　　15÷7=2……余1，　　21÷5=4……余1，　　70÷3=23……余1. 再用找到的三个较小数分别乘以被7、5、3除所得的余数的积连加，　　15×2+21×3+70×2=233. 最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数. 　　233÷105=2……余23，这个余数23就是合乎条件的最小数. 以上三个步骤适合于解类似“孙子问题”的所有问题. 【练习】 1.韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数. 2.有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？（用两种方法解） 3.某数除以7余3，除以8余4，除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数. 4.某数除以5余2，除以7余4，除以11余8.求适合条件的最小数. 5.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？

7，中国剩余定理的典故

“中国古代数学有着辉煌的成就，今天大小吴将为大家介绍在中国数学史上非常著名的中国剩余定理。1 韩信点兵问题这个问题首先要从一个叫做“韩信点兵”的故事说起。秦末时期，楚汉相争，汉初三杰之一的韩信有一次带1500名兵士打仗，战死四五百人。为了统计剩余士兵的个数，韩信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信据此很快说出人数：1049人。汉军本来就十分信服韩信大将军，经此之后就更加相信韩信是“天神下凡，神机妙算"，于是士气大振，鼓声喧天，在接下来的战役中汉军步步紧逼，楚军乱作一团，大败而逃。韩信由此名扬天下，被后世誉为“兵仙“，“神帅”。那么韩信是如何快速算出士兵人数的呢？韩信点兵问题可以用现代数学语言描述如下：若士兵人数是，则有除以3余2，除以5余4，除以7余6.我们也可以用同余式来表示这个问题：我们发现，若将，则可以同时被3、5、7整除，即所以一定是3、5、7的最小公倍数的整数倍，由于3、5、7两两互素，则所以即其中是正整数，当时这样，韩信就计算出了剩余士兵的人数。2 孙子算经与物不知数问题实际上，这类问题就是在求解初等数论中的同余方程组。在数学史上韩信点兵问题也被称为物不知数问题，最早记载于一千多年前的《孙子算经》中：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？转化为现代数学语言，即解整数满足的同余式这个问题和上文所说的韩信点兵问题类似，但是，它不具备上一个问题那么好的性质，因为无论使加上或减去一个数，都无法同时被3、5、7整除。那么，这个问题该如何解决呢？宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支（二十一），七子团圆正半月，除百零五使得知。这首诗的意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105得到的余数就是答案。根据这个算法，可得：因此物不知数问题的最小正整数解即为，事实上，23确实满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个问题的通解为其中是自然数。3 中国剩余定理对于这个问题，如果是一般情况，该如何处理呢？例如，有同余式：我们把这个问题分解成三个同余式方程组那么初始问题就有最小正整数解因此只要能找到满足条件的即可。以为例，由同余式可得，因此所以存在使得因此其中的存在性可以证明，因为有如下定理：“若，则必然存在使得对于这个定理的证明，可以考虑集合中的最小正整数，只要证明这个最小正整数就是1即可。考虑其中最小的正整数，，只需证明且，由于互素，所以只能为1.这件事可以用反证法证明：若不能整除，则必有因此因此余数也可以表示成一个整数乘以加上另一个整数乘以的形式，又因为是小于的，这就和最开始的假设是最小的正整数相矛盾了，因此必有因此存在性得证。事实上这样的不仅存在，而且也比较好寻找，其中70就是既能被5、7同时整除又能除以3余1的最小正整数，所以，同理可得，，因此这类问题就有了通解：原来上面的古诗中出现的70、21、15这三个数是这么来的！一般来讲，给定个不同的素数，则同余方程组一定是有解的，求解这个问题只需构造基础解系:因此有因为都是素数，因此的存在性是显然的。求解上述问题的过程与方法就称为“中国剩余定理”，又称为“孙子定理”。中国剩余定理的传播最早在1852年由英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，成为了初等数论中非常重要的一个定理。

我国古代的重要数学著作《孙子算经》中有一问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”答曰：“二十三。”这段话译成白话是：“有一堆东西不知有多少个，如果三个三个数，剩二个，如果五个五个数，剩三个，如果七个七个数剩二个。问这堆东西有多少?答案是二十三个。”这个问题的解决，叫“孙子定理”，国外称为“中国剩余定理”。这个问题的解法明朝程大位写成一首诗是：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这首诗里隐含着70、21、15、105这4个数，只要牢记这4个数，解答此题便轻而易举了。在《孙子算经》中详细介绍了这种奇妙算法：凡是每3个一数最后余1的，就取1个70，最后余2的，便取2个70；每5个一数最后余1的，就取1个21，余2的，就取2个21；每7个一数最后余1的，就取1个15，余2的取2个15。把这些数加起来，如果得数比105大，减去105，所得的两组数便是众多答案中最小的一个和第二最小的。比如，上题是取2个70，取3个21，取2个15。由于2×70＋3×21＋2×15＝233，比105大，减去105，再减105，得23。只此寥寥几步，便解了此题，可谓神奇。

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